问答题
假设测量的随机误差X～N(0，10
2
)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e
-5
=0．007)．
【正确答案】正确答案：记事件A=“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19．6”=“100次独立测量中，事件{|X|＞19．6}至少发生3次”，依题意，所求α=P(A)．如果记事件C={|X|＞19．6}，Y表示100次独立测量中事件C发生的次数，则事件A={Y≥3}，Y～B(100，p)，其中p=P(C)． p=P(C)=P{|X|＞19．6}=1一P{|X|≤19．6} =1一P{一19．6≤X≤19．6}=1一
=2[1一ψ(1．96)]=2×0．025=0．05， 因此所求的概率 α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y＜3} =1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}， 其中P{Y=k}=C
100
k
p
k
(1一p)
100-k
=C
100
k
×0．05
k
×0．95
100-k
． 由于n=100充分大，p=0．05很小，np=100×0．05=5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布．因此P{Y=k}≈
其中λ=np=5，于是α≈1一e
-5
—5e
-5
一
=2[1一ψ(1．96)]=2×0．025=0．05， 因此所求的概率 α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y＜3} =1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}， 其中P{Y=k}=C
100
k
p
k
(1一p)
100-k
=C
100
k
×0．05
k
×0．95
100-k
． 由于n=100充分大，p=0．05很小，np=100×0．05=5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布．因此P{Y=k}≈
其中λ=np=5，于是α≈1一e
-5
—5e
-5
一
【答案解析】