解答题
5.设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f)(n)(x)≠0．
【正确答案】由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得
f(x)=f(0)+f'(0)x+…+
f(n)(0)xn+
xn+1．
若fn+1(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式
f(x)=f(0)+f'(0)x+…+
f(x)=f(0)+f'(0)x+…+
f(n)(0)xn+xn+1．若fn+1(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式
f(x)=f(0)+f'(0)x+…+
【答案解析】