问答题
问答题
叙述二元函数z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微及微分dz|
(x0，y0)
的定义；
【正确答案】
【答案解析】[解] 定义：设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域U内有定义，(x
0
+Δx，y
0
+Δy)∈U．增量
其中A，B与Δx和Δy都无关，
，则称f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，并称
其中A，B与Δx和Δy都无关，
，则称f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，并称
问答题
证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，则f
"
x
(x
0
，y
0
)与f
"
y
(x
0
，y
0
)都存在，且
【正确答案】
【答案解析】[证] 设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，则(*)式成立．令Δy=0，于是
令Δx→0，有
，同理有
．证明了
存在，并且
令Δx→0，有
，同理有
．证明了
存在，并且
问答题
举例说明第二小问的逆定理不成立．
【正确答案】
【答案解析】[解] 当
存在时，z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处未必可微．反例：
设
易知有
两个偏导数存在，以下用反证法证出f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有
Δf=f(Δx，Δy)-f(0，0)=0Δx+0Δy+o(ρ)，
即
但此式是不成立的，例如取Δy=kΔx，
存在时，z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处未必可微．反例：
设
易知有
两个偏导数存在，以下用反证法证出f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有
Δf=f(Δx，Δy)-f(0，0)=0Δx+0Δy+o(ρ)，
即
但此式是不成立的，例如取Δy=kΔx，