解答题
6.[2004年] 设n阶矩阵A=
【正确答案】利用现有结论可求得A的特征值和部分特征向量．求出A的全部特征向量后排成可逆矩阵P，即为所求．求解时需对b进行讨论．
(I)解一 根据A的结构特点：主对角线上的元素全为a=1，非零对角线上的元素全为b，由命题2．5．1．7即得到A的特征值为λ1=1+(n－1)b，λ2=λ3=…=λn=1－b．
(Ⅱ)(1)当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn．令P=[α1，α2，…，αn]，则
P-1AP—A=diag(1+(n一1)b，1一b，…，1一b)．
(2)当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P-1AP=E．
(I)解一 根据A的结构特点：主对角线上的元素全为a=1，非零对角线上的元素全为b，由命题2．5．1．7即得到A的特征值为λ1=1+(n－1)b，λ2=λ3=…=λn=1－b．
(Ⅱ)(1)当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn．令P=[α1，α2，…，αn]，则
P-1AP—A=diag(1+(n一1)b，1一b，…，1一b)．
(2)当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P-1AP=E．
【答案解析】