单选题
设A是m×n矩阵，则下列4个命题
①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解
②若r(A)=m，则齐次线性方程组Ax=0只有零解
③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解
④若r(A)=n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解
中正确的是______。
①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解
②若r(A)=m，则齐次线性方程组Ax=0只有零解
③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解
④若r(A)=n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解
中正确的是______。
【正确答案】
D
【答案解析】[考点] 利用系数矩阵的和增广矩阵秩判定线性方程组是否有解。
[解析] A是m×n矩阵，若r(A)=m，说明A的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关，所以必有
，从而
，故线性方程组Ax=b必有解，①正确。若r(A)=n，说明A的列向量组线性无关，亦即Ax=0，只有零解，所以④正确。当r(A)=m时，必有n≥m。如果m=n，则Ax=0只有零解，而m＜n时，Ax=0必有非零解，所以②不正确。当r(A)=n时，
[解析] A是m×n矩阵，若r(A)=m，说明A的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关，所以必有
，从而
，故线性方程组Ax=b必有解，①正确。若r(A)=n，说明A的列向量组线性无关，亦即Ax=0，只有零解，所以④正确。当r(A)=m时，必有n≥m。如果m=n，则Ax=0只有零解，而m＜n时，Ax=0必有非零解，所以②不正确。当r(A)=n时，