解答题
考虑一个基因问题，这个问题中一个基因有2个不同的染色体，一个给定的总体中的每一个个体都必须有三种可能基因类型中的一种．如果从父母那里继承染色体是独立的，且每对父母将每一染色体传给子女的概率是相同的，那么三种不同基因类型的概率p1，p2和p3可以用以下形式表示：p1=θ2，p2=2θ(1-θ)，p3=(1-θ)2，其中参数0＜θ＜1未知．基于一个随机样本中拥有每种基因个体的观察值N1，N2，N3，总的样本容量为n．某次测试中，N1=10，N2=50，N3=40．
(Ⅰ)可以利用事件出现的频率估计事件发生的概率，求θ的估计值，请问估计值是否唯一?
(Ⅱ)求θ的最大似然估计值．
(Ⅰ)可以利用事件出现的频率估计事件发生的概率，求θ的估计值，请问估计值是否唯一?
(Ⅱ)求θ的最大似然估计值．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)利用事件出现的频率估计事件发生的概率，比如
解得相应的估计量为
对应的估计值为
所以估计值不唯一．
(Ⅱ)似然函数为 L(θ)=(θ2)N1[2θ(1-θ)]N2[(1-θ)2]N3．
取对数 lnL(θ)=2N1lnθ+N2ln2+N2lnθ+N2ln(1-θ)+2N3ln(1-θ)
=N2ln2+(2N1+N2)lnθ+(N2+2N3)ln(1-θ)，
对θ求导有
令
得如下方程
解得
其中
为样本容量．所以参数θ的最大似然估计量为
当N1=10，N2=50，N3=40时，n=100，此时
解得相应的估计量为
对应的估计值为所以估计值不唯一．
(Ⅱ)似然函数为 L(θ)=(θ2)N1[2θ(1-θ)]N2[(1-θ)2]N3．
取对数 lnL(θ)=2N1lnθ+N2ln2+N2lnθ+N2ln(1-θ)+2N3ln(1-θ)
=N2ln2+(2N1+N2)lnθ+(N2+2N3)ln(1-θ)，
对θ求导有
令
得如下方程解得
其中
为样本容量．所以参数θ的最大似然估计量为当N1=10，N2=50，N3=40时，n=100，此时