问答题
设f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX是正定二次型．证明：
问答题
二次型平方项的系数均大于零；
【正确答案】正确答案：利用f正定的定义证：f正定，由定义，任给X≠0，均有f=X
T
AX＞0． 取X=[1，0，…，0]
T
≠0则
【答案解析】
问答题
|A|＞0；
【正确答案】正确答案：用f正定的充要条件证：f=X
T
AX正定
存在可逆矩阵C，使得C
T
AC=E． A=(C
T
)
-1
C
-1
存在可逆矩阵C，使得C
T
AC=E． A=(C
T
)
-1
C
-1
【答案解析】
问答题
举例说明上述条件均不是f(x
1
，x
2
，…，x
n
)正定的充分条件．
【正确答案】正确答案：上述条件均不是f正定的充分条件，例 f=x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
，有a
11
=a
22
—1＞0，但f(1，一1)=0，f不正定． f=x
1
2
一x
2
2
一x
3
2
，
【答案解析】