问答题
设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为
问答题
求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
【正确答案】
【答案解析】[解] 对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有
问答题
当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设γ是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解，则
γ=x 1 β 1 +x 2 β 2 =-x 3 α 1 -x 4 α 2
那么x 1 β 1 +x 2 β 2 +x 3 α 1 +x 4 α 4 =0．
对系数矩阵A=(β 1 ，β 2 ，α 1 ，α 2 )作初等行变换，有
且γ≠0
x
1
，x
2
，x
3
，x
4
不全为0
r(A)＜4
a=-1．
当a=-1时
得基础解系η 1 =(-1，-1，1，0) T ，η 2 =(-4，-7，0，1) T
所以Ax=0的通解为k 1 η 1 +k 2 η 2 =(-k 1 -4k 2 ，-k 1 -7k 2 ，k 1 ，k 2 ) T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解
γ=x 1 β 1 +x 2 β 2 =-x 3 α 1 -x 4 α 2
那么x 1 β 1 +x 2 β 2 +x 3 α 1 +x 4 α 4 =0．
对系数矩阵A=(β 1 ，β 2 ，α 1 ，α 2 )作初等行变换，有
且γ≠0
x
1
，x
2
，x
3
，x
4
不全为0
r(A)＜4
a=-1．
当a=-1时
得基础解系η 1 =(-1，-1，1，0) T ，η 2 =(-4，-7，0，1) T
所以Ax=0的通解为k 1 η 1 +k 2 η 2 =(-k 1 -4k 2 ，-k 1 -7k 2 ，k 1 ，k 2 ) T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解