解答题
10.设对任意的x和y，有
=4，用变量代换
将f(x，y)变换成g(μ，ν)，试求满足
=4，用变量代换将f(x，y)变换成g(μ，ν)，试求满足
【正确答案】由题意g(μ，ν)=f(μν，
(μ2一ν2))，
=νf1'+μf2'，
=μf1'一νf2'，
因此，有
=a[ν2(f1')2+μ2(f2')2+2μνf1'f2']一b[μ2(f1')2+ν2(f2')2一2μνf1'f2']
=(aν2一bμ2)(f1')2+(aμ2一bν2)(f2')2+2μν(a+b)f1'f2'
=μ2+ν2。
利用(f1')2+(f2')2=4，即(f2')2=4一(f1')2得
(a+b)(ν2一μ2)(f1')2+2(a+b)μνf1'f2'+4aμ2一4bν2=μ2+ν2
由此得a+b=0，4a=1，一4b=1，
故
(μ2一ν2))，=νf1'+μf2'，=μf1'一νf2'，因此，有
=a[ν2(f1')2+μ2(f2')2+2μνf1'f2']一b[μ2(f1')2+ν2(f2')2一2μνf1'f2']
=(aν2一bμ2)(f1')2+(aμ2一bν2)(f2')2+2μν(a+b)f1'f2'
=μ2+ν2。
利用(f1')2+(f2')2=4，即(f2')2=4一(f1')2得
(a+b)(ν2一μ2)(f1')2+2(a+b)μνf1'f2'+4aμ2一4bν2=μ2+ν2
由此得a+b=0，4a=1，一4b=1，
故
【答案解析】