问答题
设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫
L
2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．
【正确答案】正确答案：首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得
(2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x
2
+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式．再求φ(y)． 通过求原函数计算积分： 2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=d[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]． 由(*)式，得[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]｜
(0，0)
(t，1)
=[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]｜∫
(0，0)
(1，t)
， 即 t
2
+∫
0
1
φ(s)ds=t+∫
0
t
φ(s)ds (
t)． 求导得 2t=1+φ(t) (
(2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x
2
+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式．再求φ(y)． 通过求原函数计算积分： 2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=d[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]． 由(*)式，得[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]｜
(0，0)
(t，1)
=[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]｜∫
(0，0)
(1，t)
， 即 t
2
+∫
0
1
φ(s)ds=t+∫
0
t
φ(s)ds (
t)． 求导得 2t=1+φ(t) (
【答案解析】