问答题
设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似；
(Ⅱ)如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；
(Ⅲ)用配方法化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似；
(Ⅱ)如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；
(Ⅲ)用配方法化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．
【正确答案】矩阵A各行元素之和均为0，即
知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～Λ．
(Ⅱ)当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有
所以
(Ⅲ)xTAx=x21+z22-2x23-4x1x2+2x1x3+2x2x3
=x21=2x1(2x2-x3)+(2x2-x3)2-(2x2-x3)2+x22-2x23+2x2x3
=(x1+2x2-x3)2-3x22+6x2x3-3x23
=(x1+2x2-x3)2-3(x2-x3)2
令
即
知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～Λ．
(Ⅱ)当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有
所以
(Ⅲ)xTAx=x21+z22-2x23-4x1x2+2x1x3+2x2x3
=x21=2x1(2x2-x3)+(2x2-x3)2-(2x2-x3)2+x22-2x23+2x2x3
=(x1+2x2-x3)2-3x22+6x2x3-3x23
=(x1+2x2-x3)2-3(x2-x3)2
令
即【答案解析】