设α，β为3维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置，证明：
(1)r(A)≤2 (2)若α，β线性相关，则r(A)＜2。
【正确答案】正确答案：(1)因为α，β为3维列向量，那么αα
T
，ββ
T
都是3阶矩阵，且r(αα
T
)≤1 r(ββ
T
)≤1， 故r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤2 (2)若α，β线性相关，在存在不全为0的实数k
1
，k
2
，使得k
1
α+k
2
β=0。 不妨设k
2
≠0，则有β=kα， 那么r(A)=r[αα
T
+(kα)(kα)
T
]=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤1＜2。