问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＞0．证明：
问答题
若f"(ξ)=0，则存在x
1
，x
2
∈(a，b)且x
1
＜ξ＜x
2
，使得f(x
1
)=f(x
2
)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为f"(ξ)＞0，f"(ξ)=0，故ξ是f的极小值点．
f在[a，ξ]上有最大值f(t 1 )．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t 2 )．
不妨设f(t 1 )≤f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在x 0 ∈[ξ，b]，使得f(x 0 )=f(t 1 )．
即有x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得f(x 1 )=f(x 2 )．
f在[a，ξ]上有最大值f(t 1 )．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t 2 )．
不妨设f(t 1 )≤f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在x 0 ∈[ξ，b]，使得f(x 0 )=f(t 1 )．
即有x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得f(x 1 )=f(x 2 )．
问答题
若f"(ξ)≠0，则存在η
1
＜ξ＜η
2
，其中η
1
，η
2
∈(a，b)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由f"(ξ)≠0，令g(x)=f(x)-f"(ξ)x，则g"(ξ)=f"(ξ)-f"(ξ)=0．
于是g(x)符合第(1)小题的条件，即存在η 1 ，η 2 ∈(a，b)满足η 1 ＜ξ＜η 2 ，使得
g(η 1 )=g(η 2 )，即
将g(x)=f(x)-f"(ξ)x代入上式后得到
即
于是g(x)符合第(1)小题的条件，即存在η 1 ，η 2 ∈(a，b)满足η 1 ＜ξ＜η 2 ，使得
g(η 1 )=g(η 2 )，即
将g(x)=f(x)-f"(ξ)x代入上式后得到
即