【答案解析】证法1 记 ，则

当-1＜x＜1时，由于 ，1+cosx≤2，所以f"(x)≥2＞0，从而f"(x)单调增加．
又因为f"(0)=0，所以当-1＜x＜0时，f"(x)＜0；当0＜x＜1时，f"(x)＞0．故f(0)是f(x)在区间(-1，1)中的最小值．因为f(0)=0，所以
f(x)≥0(-1＜x＜1)，即 ．
证法2 利用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，得

所以
因为-1＜x＜1，0＜θ _i ＜1，所以-1＜θ _i x＜1(i=1，2，3)，从而

所以
证法3 记 ，则f(x)为偶函数．
当0≤x＜1时，
因为f(0)=0，所以f(x)≥0(0≤x＜1)．
由于f(x)为偶函数，所以f(x)≥0(-1＜x＜1)，即