问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且满足
f(0)=1，f'(x)=f(x)+ax-a．求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．
f(0)=1，f'(x)=f(x)+ax-a．求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．
【正确答案】方程f'(x)=f(x)+ax-a可以改写为
f'(x)-f(x)=ax-a，
则f(x)=ex[∫e-x(ax-a)dx+C]
=ex(-axe-x+C)=Cex-ax．
由f(0)=1知C=1，所以f(x)=ex-ax．
Vx(a)=
=
将Vx(a)对a求导数，并令V'x(a)=
=0，得a=3．又由V"x(a)=
f'(x)-f(x)=ax-a，
则f(x)=ex[∫e-x(ax-a)dx+C]
=ex(-axe-x+C)=Cex-ax．
由f(0)=1知C=1，所以f(x)=ex-ax．
Vx(a)=
=
将Vx(a)对a求导数，并令V'x(a)=
=0，得a=3．又由V"x(a)=【答案解析】[解析] 先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．