解答题
7.设
【正确答案】(Ⅰ)设ξ2=(x1，x2，x3)T，解方程组Aξ2=ξ1，由
[A，ξ1]
得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，则得
ξ2
其中c1为任意常数．
设ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程组A2ξ2=ξ1，由
[A2，ξ1]
得y1=－
－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得
其中c2，c3为任意常数．
(Ⅱ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ1 ξ2 ξ3|≠0．而
[A，ξ1]
得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，则得
ξ2
其中c1为任意常数．
设ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程组A2ξ2=ξ1，由
[A2，ξ1]
得y1=－
－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得其中c2，c3为任意常数．
(Ⅱ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ1 ξ2 ξ3|≠0．而
【答案解析】