解答题
25.[2002年] 设f(x)=
【正确答案】 因f(x)为分段函数，应根据x在不同分段区间上的不同取值，利用积分区域的可加性(命题1．3．3．2)求解．又因所求的是f(x)的原函数F(x)的表示式，可先分段求出原函数，然后再利用F(x)的性质：F(x)在x=0处连续及F(－1)=0确定任意常数，从而求出所求的表达式．
分段积分法．利用积分区域可加性直接求出这个变限积分．当一l≤x＜0时，因[一1，x]不包含分段点x=0，不需分段，得到
F(x)=∫-1x(2t+
t2)dt=(t2) dt=
①
当0≤x≤l时，因[一1，x]包含分段点x=0，需分段求积分．
F(x)=∫-10f(t)dt+∫0xf(t)dt=∫-10
综上所述， F(x)=
分段积分法．利用积分区域可加性直接求出这个变限积分．当一l≤x＜0时，因[一1，x]不包含分段点x=0，不需分段，得到
F(x)=∫-1x(2t+
t2)dt=(t2) dt= ①当0≤x≤l时，因[一1，x]包含分段点x=0，需分段求积分．
F(x)=∫-10f(t)dt+∫0xf(t)dt=∫-10
综上所述， F(x)=
【答案解析】