【正确答案】由于α₁，α₂，α₃不能由β₁，β₂，β₃线性表示，所以矩阵方程
(β₁，β₂，β₃)X=(α₁，α₂，α₃)
无解，从而
[*]
由于[*]
[*]
所以，b=5时，[*]，即此时α₁，α₂，α₃
不能由β₁，β₂，β₃线性表示．
由于β₁，β₂，β₃可由α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃线性表示，所以矩阵方程
(α₁，α₁+α_z，α₁+α₂+α₃)Y=(β₁，β₂，β₃)有解，从而
[*]
将b=5代入得
[*]
所以，[*]时，[*](=3)，即此时β₁，β₂，β₃可由α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃线性表示．

【答案解析】题解中有两点值得注意：
(Ⅰ)矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是
[*]
而无解的充分必要条件是
[*]
(Ⅱ)没有两个n维向量组(A)：α₁，α₂，…，α_r，(B)：β₁，β₂，…，β_s，则向量组(A)可由向量组(B)线性表示，且表示式唯一的充分必要条件是矩阵方程
(β₁，β₂，…，β_s)X=(α₁，α₂，…，α_r) (1)
有唯一解；向量组(A)可由向量组(B)线性表示，但表示式不唯一的充分必要条件是矩阵方程(1)有无穷多解；向量组(A)不可由向量组(B)线性表示的充分必要条件是矩阵方程(1)无解．