单选题
已知n阶矩阵A合同于对角矩阵
【正确答案】
C
【答案解析】[分析] 根据合同的定义可推导出A为对称矩阵．
[详解] 两个矩阵合同不一定相似，因此λ1，λ2，…，λn不一定是A的特征值，排除(A)；又λi(i=1，2，…，n)是否为正、或不为零不确定，所以也不能断定A为正定矩阵，或A的秩为n，排除(B)、(D)．故选(C)．
事实上，由于A与A合同，于是存在可逆矩阵P．
使PTAP=A，从而A=(PT)-1AP-1，
故有AT=[(PT)-1AP-1]T=(P-1)TAT((PT)-1)T=(PT)-1AP-1=A．
[评注] 两个对称矩阵A、B相似，则A、B均合同于同一对角矩阵(A、B的特征值为对角线元素)，从而A、B一定合同．
[详解] 两个矩阵合同不一定相似，因此λ1，λ2，…，λn不一定是A的特征值，排除(A)；又λi(i=1，2，…，n)是否为正、或不为零不确定，所以也不能断定A为正定矩阵，或A的秩为n，排除(B)、(D)．故选(C)．
事实上，由于A与A合同，于是存在可逆矩阵P．
使PTAP=A，从而A=(PT)-1AP-1，
故有AT=[(PT)-1AP-1]T=(P-1)TAT((PT)-1)T=(PT)-1AP-1=A．
[评注] 两个对称矩阵A、B相似，则A、B均合同于同一对角矩阵(A、B的特征值为对角线元素)，从而A、B一定合同．