解答题
4.设有n元二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
【正确答案】由题设知，对任意的实数x1，x2，…，xn，有
f(x1，x2，…，xn)≥0，
其中等号成立当且仅当
该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
f(x1，x2，…，xn)≥0，
其中等号成立当且仅当
该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
【答案解析】本题考查正定二次型的判定方法．将二次型f(x1，x2，…，xn)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决．