问答题
设函数f(x，y)在闭圆域x2+y2≤1上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|≤1，求证：在开圆域x2+y2＜1内至少存在一点(x0，y0)，使
[f′x(x0，y0)]2+[f′y(x0，y0)]2＜4．
【正确答案】[证] 1)若f(0，0)≥0，令[*]则[*]在D上有最大值，但
[*]
则[*]的最大值必可在D内一点(x0，y0)取到，则
[*]
即fx(x0，y0)-2x0=0，fy(x0，y0)-2y0=0
则f2x(x0，y0)+f2y(x0，y0)=4(x20+y20)＜4
2)若f(0，0)＜0，令[*]则[*]在[*]上有最小值，但
[*]
则[*]的最小值必可在D内一点(x0，y0)取到．
则[*]
即fx(x0，y0)+2x0=0
fy(x0，y0)+2y0=0
则f2x(x0，y0)+f2y(x0，y0)=4(x20+y20)＜4
故原题得证．
【答案解析】