解答题
[2013年] 设二次型
f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，
记
f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，
记
问答题
13.证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
【正确答案】按二次型矩阵的定义证之．
证一 令X=[x1，x2，x3]T，则
a1x1+a2x2+a3x3=[x1，x2，x3]
=[a1，a2，a3]
b1x1+b2x2+b3x3=[x1，x2，x3]
=[b1，b2，b3]
故2(a1x1+a2x2+a3x3)2=2(a1x1+a2x2+a3x3)(a1x1+a2x2+a3x3)
=2[x1，x2，x3]
[a1，a2，a3]
证一 令X=[x1，x2，x3]T，则
a1x1+a2x2+a3x3=[x1，x2，x3]
=[a1，a2，a3]b1x1+b2x2+b3x3=[x1，x2，x3]
=[b1，b2，b3]故2(a1x1+a2x2+a3x3)2=2(a1x1+a2x2+a3x3)(a1x1+a2x2+a3x3)
=2[x1，x2，x3]
[a1，a2，a3]【答案解析】
问答题
14.若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
【正确答案】因α，β为单位向量且相互正交，有
βTα=αTβ=0，∣∣α∣∣=
=1，∣∣β∣∣=
βTα=αTβ=0，∣∣α∣∣=
=1，∣∣β∣∣=【答案解析】