问答题
已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问
(1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出?
(2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表出?并写出此表示式．
(1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出?
(2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表出?并写出此表示式．
【正确答案】[分析] 本题已知向量的坐标，故应当用讨论带参数的非齐次线性方程组是否有解的方法来回答．
[解] 设x1α1+x2α2+x3α3=β．对(α1 α2 α3 β)作初等行变换有
所以
(1)当b≠2时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表出．
(2)当b=2，a≠1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有唯一解，即
x=(x1，x2，x3)T=(-1，2，0)T．
于是β可唯一表示为β=-α1+2α2．
当b=2，a=1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有无穷多个解．即
x=(x1，x2，x3)T=k(-2，1，1)T+(3，0，-2)T．
于是β=(-2k+3)α1+kα2+(k-2)α3，k为任意常数．
[解] 设x1α1+x2α2+x3α3=β．对(α1 α2 α3 β)作初等行变换有
所以
(1)当b≠2时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表出．
(2)当b=2，a≠1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有唯一解，即
x=(x1，x2，x3)T=(-1，2，0)T．
于是β可唯一表示为β=-α1+2α2．
当b=2，a=1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有无穷多个解．即
x=(x1，x2，x3)T=k(-2，1，1)T+(3，0，-2)T．
于是β=(-2k+3)α1+kα2+(k-2)α3，k为任意常数．
【答案解析】