问答题
(1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz
3
在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(R＞0为常数)下的最大值；
(2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，下述不等式成立：
【正确答案】正确答案：(1)由拉格朗日乘数法，设 F(x，y，z，λ)=xyz
3
+λ(x
2
+y
2
+z
2
－5R
2
)， 令
由①，②得λ(x=y)=0．若λ=0，则有xyz=0，与题设条件x＞0，y＞0，z＞0不符，故得x=y，因此得 z
3
+2λ=0，3x
2
z+2λ=0，2x
2
+z
2
=5R
2
． 于是得 3x
2
－z
2
=0及2x
2
+z
2
=5R
2
， 从而得唯一的一组解： x=R，y=R，
此时对应的f(x，y，z)=xyz
3
在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
下达到最大：
(2)由(1)已知，当x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
且x＞0，y＞0，z＞0时，
令a=x
2
，b=y
2
，c=z
2
，有
由①，②得λ(x=y)=0．若λ=0，则有xyz=0，与题设条件x＞0，y＞0，z＞0不符，故得x=y，因此得 z
3
+2λ=0，3x
2
z+2λ=0，2x
2
+z
2
=5R
2
． 于是得 3x
2
－z
2
=0及2x
2
+z
2
=5R
2
， 从而得唯一的一组解： x=R，y=R，
此时对应的f(x，y，z)=xyz
3
在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
下达到最大：
(2)由(1)已知，当x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
且x＞0，y＞0，z＞0时，
令a=x
2
，b=y
2
，c=z
2
，有
【答案解析】