问答题
已知n维向量α
1
，α
2
，…，α
n
中，前n-1个向量线性相关，后n-1个向量线性无关，b=α
1
+α
2
+…+α
n
，矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
n
)是n阶矩阵，证明：方程组Ax=b必有无穷多解且其任一解(c
1
，c
2
，…，c
n
)
T
中必有c
n
=1．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设α
1
，α
2
，…，a
n-1
线性相关，α
2
，α
3
，…，α
n
线性无关，于是α
2
，α
3
，…，α
n-1
，线性无关，且α
1
可由α
2
，α
3
，…，α
n-1
线性表示，故R(A)=n-1，因此Ax=0有n-R(A)=1个线性无关的解向量，因α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性相关，因此存在一组不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
n-1
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
=0，即有
又R(A)=R(α 1 ，α 2 ，…，α n )=R(α 1 ，α 2 ，…，α n
b)=n-1，
∴Ax=b有无穷多解，且有
∴
又R(A)=R(α 1 ，α 2 ，…，α n )=R(α 1 ，α 2 ，…，α n
b)=n-1，
∴Ax=b有无穷多解，且有
∴