问答题
已知α
1
，α
2
都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为一1和1，又3维向量α
3
满足
Aα
3
=α
2
+α
3
．
证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【正确答案】正确答案：根据特征向量的性质，α
1
，α
2
都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．只用再证明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示． 用反证法．如果α
3
可用α
1
，α
2
表示，设α
3
=c
1
α
1
+c
2
α
2
，用A左乘等式两边，得 α
2
+α
3
=一c
1
α
1
+c
2
α
2
， 减去原式得 α
2
=一2c
1
α
1
， 与α
1
，α
2
线性无关矛盾，说明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示．
【答案解析】