【正确答案】证 由题设条件，存在非零列向量x，使得Ax=λx，两端左乘A，得A²x=λAx，将Ax=λx代入上式右端，得A²x=λ²x.用类似方法一般可得A^kx=λ^kx(k=1，2，…)，于是知λk为A^K的特征值.利用A^kx=λ^kx(k=1，2，…)，可得
   f(A)x=(a_mA^m+…+a₁A+a₀E)x=a_mA^mx+…+a₁Ax+a₀x
   =a_mλ^mx+…+a₁λx+a₀x=(a_mλ^m+…+a₁λ+a₀)x=f(λ)x由于x≠=0，故由定义即知f(λ)为f(A)的特征值且x为对应的特征向量.

【答案解析】一般地，如果λ₁，λ₂，…，λ_n为n阶方阵A的全部特征值，则可证明：f(λ₁)，f(λ₂)，…，f(λ_n)为方阵f(A)的全部特征值，其中f(x)为任一多项式(其证明见4-28题).