【正确答案】(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ_i的特征向量为α_i(i＝1，2，3)，由特征值的定义与性质，有A_kα_i＝λ_i^kα_i(i＝1，2，3，k＝1，2，…)，于是有
Bα₁＝(A⁵－4A³＋E)α₁＝(λ₁⁵－4λ₁³＋)α₁＝－2α₁
因α₁＝≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α₁为对应的一个特征向量．类似可得
Bα₂＝(λ₂⁵－4λ₂³＋1)α₂＝α₂
Bα₃＝(λ₃⁵－4λ₃³＋1)α₃＝α₃
因为A的全部特征值为λ₁，λ₂，λ₃，所以B的全部特征值为λ_i⁵－4λ_i³＋(i＝1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1．
因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k₁α₁，其中k₁是不为零的任意常数．
设χ＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(χ₁，χ₂，χ₃)α₁＝0，即
χ₁－χ₂＋χ₃＝0
解得该方程组的基础解系为
ξ₂＝(1，1，0)^T，ξ₃＝(－1，0，1)^T
故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k₂ξ₂＋k₃ξ₃，其中k₂，k₃为不全为零的任意常数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知α₁，ξ₂，ξ₃为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵