【正确答案】二次型f的矩阵表达式为

其中

【答案解析】本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．

【正确答案】矩阵A的特征多项式为

由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=-6．
于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形
f=y²₁+6y²₂-6y²₃．
对于特征值λ₁=1，由于

故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，-1)^T．
类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=-6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，-1，2)^T．
因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得

于是，所求的正交矩阵为

故对二次型f作正交变换