解答题
设α，β为三维单位列向量，且αTβ=0，令A=αβT+βαT， 证明：
【正确答案】
【答案解析】[证] 因为αTβ=0，所以βTα=(αTβ)T=0．
又 Aα=αβTα+βαTα=β，
Aβ=αβTβ+βαTβ=α，
所以 A(α+β)=α+β， A(α-β)=-(α-β)，
又因为α，β为单位正交向量组，所以α，β线性无关．α+β≠0，α-β≠0． 1，-1是A的特征值．
又因为r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)=2，所以A不可逆，0是A的特征值．
A有三个不同的特征值1，-1，0，故
又 Aα=αβTα+βαTα=β，
Aβ=αβTβ+βαTβ=α，
所以 A(α+β)=α+β， A(α-β)=-(α-β)，
又因为α，β为单位正交向量组，所以α，β线性无关．α+β≠0，α-β≠0． 1，-1是A的特征值．
又因为r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)=2，所以A不可逆，0是A的特征值．
A有三个不同的特征值1，-1，0，故