求下列方程的通解或特解：
(Ⅰ)
-4y=4x
2
，y(0)=
，y'(0)=2；
(Ⅱ)
-4y=4x
2
，y(0)=
，y'(0)=2；
(Ⅱ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ
2
-4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解y
*
=ax
2
+bx+c，代入方程得2a-4(ax
2
+bx+c)=4x
2
．
-4a=4，b=0，2a-4c=0
a=-1，c=
.
y
*
=-x
2
-
.
通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-2x
-x
2
-
. 由初值 y(0)=C
1
+C
2
-
，y'(0)=2C
1
-2C
2
=2，
因此得特解 y=
e
2x
-
e
-2x
-x
2
-
(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0，特征根λ
1
=-1，λ
2
=-2．由于非齐次项是e
-x
cosx，-1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y
*
=e
-x
(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e
-x
cosx与e
-x
sinx的系数，可确定出a=
，所以非齐次方程的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+
-4a=4，b=0，2a-4c=0
a=-1，c=
.
y
*
=-x
2
-
.
通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-2x
-x
2
-
. 由初值 y(0)=C
1
+C
2
-
，y'(0)=2C
1
-2C
2
=2，
因此得特解 y=
e
2x
-
e
-2x
-x
2
-
(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0，特征根λ
1
=-1，λ
2
=-2．由于非齐次项是e
-x
cosx，-1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y
*
=e
-x
(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e
-x
cosx与e
-x
sinx的系数，可确定出a=
，所以非齐次方程的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+
【答案解析】