问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=
【正确答案】(Ⅰ)二次型f的矩阵为[*]
设A的特征值为λi(i=1，2，3)。由题设条件，有
λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=[*]=-4a-2b2=12，解得a=1，b=2。
(Ⅱ)矩阵A的特征多项式|A-λE|=[*]=-(λ-2)2(λ+3)，所以A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3。
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(A-2E)x=0，得对应的特征向量a1=(2，0，1)T，a2=(0，1，0)T。
对于λ3=-3，解齐次线性方程组(A+3E)x=0，得对应的特征向量a3=(1，0，-2)T。
由于a1，a2，a3已是正交向量组，只需将a1，a2，a3单位化，由此得
[*]。
令矩阵
[*]
则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，有
[*]
且二次型f的标准形为[*]。
设A的特征值为λi(i=1，2，3)。由题设条件，有
λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=[*]=-4a-2b2=12，解得a=1，b=2。
(Ⅱ)矩阵A的特征多项式|A-λE|=[*]=-(λ-2)2(λ+3)，所以A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3。
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(A-2E)x=0，得对应的特征向量a1=(2，0，1)T，a2=(0，1，0)T。
对于λ3=-3，解齐次线性方程组(A+3E)x=0，得对应的特征向量a3=(1，0，-2)T。
由于a1，a2，a3已是正交向量组，只需将a1，a2，a3单位化，由此得
[*]。
令矩阵
[*]
则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，有
[*]
且二次型f的标准形为[*]。
【答案解析】