解答题
5.设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(c)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)－g(x)=o((x－x0)2)(x→x0)．
【正确答案】相交与相切即f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)．若又有曲率相同，即
亦即|f"(x0)|=|g"(x0)|．
由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f"(x0)=g"(x0)=0或f"(x0)与g"(x0)同号，于是f"(x0)=g"(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率
(x0)－g(x0)=0，f'(x0)－g'(x0)=0，f"(x0)－g"(x0)=0．
f(x)－g(x)=f(x0)－g(x0)+[f(x)－g(x)]'
(x－x0)
+
[f(x)－g(x)]"
亦即|f"(x0)|=|g"(x0)|．
由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f"(x0)=g"(x0)=0或f"(x0)与g"(x0)同号，于是f"(x0)=g"(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率
(x0)－g(x0)=0，f'(x0)－g'(x0)=0，f"(x0)－g"(x0)=0．f(x)－g(x)=f(x0)－g(x0)+[f(x)－g(x)]'(x－x0)+
[f(x)－g(x)]"【答案解析】