问答题
A是3阶矩阵，有特征值λ
1
=λ
2
=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
，ξ
2
，λ
3
=-2对应的特征向量是ξ
3
．
问答题
问ξ
1
+ξ
2
是否是A的特征向量?说明理由；
【正确答案】
【答案解析】解 ξ
1
+ξ
2
仍是A的对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量．
因已知Aξ
1
=2ξ
1
，Aξ
2
=2ξ
2
，故A(ξ
1
+ξ
2
)=Aξ
1
+Aξ
2
=2ξ
1
+2ξ
2
=2(ξ
1
+ξ
2
)．
问答题
ξ
2
+ξ
3
是否是A的特征向量?说明理由；
【正确答案】
【答案解析】解 ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有
A(ξ
2
+ξ
3
)=μ(ξ
2
+ξ
3
)，
得2ξ
2
-2ξ
3
-μξ
2
-μξ
3
=(2-μ)ξ
2
-(2+μ)ξ
3
=0，
因2-μ和2+μ不同时为零，故ξ
2
，ξ
3
线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故
ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量．
问答题
证明：任意三维非零向量β(β≠0)都是A
2
的特征向量，并求对应的特征值．
【正确答案】
【答案解析】因A有特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=-2，故A
2
有特征值μ
1
=μ
2
=μ
3
=4．对应的特征向量仍是
ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，且ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)，使得
P
-1
A
2
P=4E，A
2
=P(4E)P
-1
=4E，
从而对任意的β≠0，有A
2
β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A
2
的对应于λ=4的特征向量．