【答案解析】[解] 化成常微分方程处理．为此，令

有F"(x)=e ^x f(x)，f(x)=e ^-x F"(x)．代入原给方程，得
e ^-x F"(x)F(x)=x+1，
F"(x)F(x)=(x+1)e ^x ，

两边积分，得

因
但因F(0)=1＞0，所以取“+”，于是

下面证明，在区间(-∞，+∞)上，函数
φ(x)=2xe ^x +1＞0．
事实上，φ"(x)=2(x+1)e ^x ，令φ"(x)=0，得x=-1．当x＜-1时，φ"(x)＜0；当x＞-1时，φ"(x)＞0，所以