问答题
设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g"(x)＜0．试证明存在ξ∈(a，b)使
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
显然函数φ(x)在区间[a，b]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且
另外，又有φ(a)=φ(b)=0．
所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ"(ξ)=0，即
由于g(b)=0及g"(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有
于是有
显然函数φ(x)在区间[a，b]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且
另外，又有φ(a)=φ(b)=0．
所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ"(ξ)=0，即
由于g(b)=0及g"(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有
于是有