单选题
数列xn收敛于实数a等价于
(A) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)内必有数列的无穷多项．
(B) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)内仅有数列的有穷多项．
(C) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)外必有数列的无穷多项．
(D) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)外仅有数列的有穷多项．
(A) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)内必有数列的无穷多项．
(B) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)内仅有数列的有穷多项．
(C) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)外必有数列的无穷多项．
(D) 对任给的ε＞0，在(a-ε，a+ε)外仅有数列的有穷多项．
【正确答案】
D
【答案解析】[分析一] 例如数列1，-1，1，-1，…没有极限，但若令n=1，则对任给0＜ε＜1，在区间(a-ε，a+ε)=(1-ε，1+ε)内(外)总有数列的无穷多项，由此知(A)，(C)不正确；又如，令{xn}={
}，其极限值为0，但对任给0＜ε＜1，在区间(-ε，ε)内有无穷多项，(B)不正确．故选(D) ．
由数列{xn}以a为极限的定义“对任给的ε＞0，必存在自然数N，使得只要n＞N就有|xn-a|＜ε”可知，在区间(a-ε，a+ε)之外最多只有数列{xn}的前N项，故应选(D)．
[分析二] 本题实际上是证明：
，数列{xn}中只有有限项xn在a的ε邻域(a-ε，a+ε)之外．证明如下：
，从而数列{xn}中至多前N项：x1，x2，…，xN在A的ε邻域之外．
在a的ε邻域之外，令N=max{n1，n2，…，nk}，则当a＞N时，有|xn-a|＜ε．因此
}，其极限值为0，但对任给0＜ε＜1，在区间(-ε，ε)内有无穷多项，(B)不正确．故选(D) ．由数列{xn}以a为极限的定义“对任给的ε＞0，必存在自然数N，使得只要n＞N就有|xn-a|＜ε”可知，在区间(a-ε，a+ε)之外最多只有数列{xn}的前N项，故应选(D)．
[分析二] 本题实际上是证明：
，数列{xn}中只有有限项xn在a的ε邻域(a-ε，a+ε)之外．证明如下：，从而数列{xn}中至多前N项：x1，x2，…，xN在A的ε邻域之外．在a的ε邻域之外，令N=max{n1，n2，…，nk}，则当a＞N时，有|xn-a|＜ε．因此