问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=
2
ax
1
x
2
+
2
bx
2
x
3
-
2
x
1
x
3
，(a＞0)，经正交变换x=Py化为
问答题
求a，b；
【正确答案】
【答案解析】[解]
，A的特征方程为
即有λ 3 -(a 2 +b 2 +1)λ+2ab=0；
又由于A的特征值为2，-1，-1，于是A的特征方程为(λ+1) 2 (λ-2)=0，即有λ 3 -3λ-2=0．
∴
，A的特征方程为
即有λ 3 -(a 2 +b 2 +1)λ+2ab=0；
又由于A的特征值为2，-1，-1，于是A的特征方程为(λ+1) 2 (λ-2)=0，即有λ 3 -3λ-2=0．
∴
问答题
求上述正交矩阵P．
【正确答案】
【答案解析】[解] ∴
，特征值为2，-1，-1．
当λ=2时，由(A-2E)x=0，得特征向量α 1 =(-1，-1，1) T ；
当λ=-1时，由(A+E)x=0，得特征向量α 2 =(-1，1，0) T ，α 3 =(1，0，1) T .
把α 2 ，α 3 正交化得，β 2 =(-1，1，0) T ，β 3 = (1，1，2) T ．
再把β 1 =α 1 =(-1，-1，1) T ，β 2 =(-1，1，0) T ，β 3 =(1，1，2) T 单位化，得
，特征值为2，-1，-1．
当λ=2时，由(A-2E)x=0，得特征向量α 1 =(-1，-1，1) T ；
当λ=-1时，由(A+E)x=0，得特征向量α 2 =(-1，1，0) T ，α 3 =(1，0，1) T .
把α 2 ，α 3 正交化得，β 2 =(-1，1，0) T ，β 3 = (1，1，2) T ．
再把β 1 =α 1 =(-1，-1，1) T ，β 2 =(-1，1，0) T ，β 3 =(1，1，2) T 单位化，得