问答题
问答题
设非负函数f(x)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：
【正确答案】
【答案解析】[证明] 方法1°由于
，又
，故只需证明当0＜a＜b≤1时
引入函数
，利用当t∈[0，x]时f(x)≤f(t)可知，当x∈(0，1]时有
故
在区间(0，1]上非增，即当0＜a＜b≤1时
方法2°把结论中的积分上限b改为变量x，并把积分变量x改为t，从而转化为证明：当0＜a＜x≤1时不等式
成立．注意
构造辅助函数
，不难得出
，且当x∈(a，1]时有
由此可见函数F(x)在区间[a，1]上单调非减，从而F(x)≥F(a)≥0．
方法3°利用定积分的换元法把
化为区间[0，a]上的定积分后再作比较．
令
，于是
，且x:a→b
t:0→a，
，代入即得
注意
，利用函数f(x)在区间[0，1]上单调非增可知
，再利用f(x)≥0，就有
方法4°由函数f(x)的连续性与积分中值定理可得，分别存在ξ∈(0，a)与η∈(a，b)，使得
利用函数f(x)在区间[0，1]上单调非增与ξ＜η可得f(ξ)≥f(η)，即
因为a＞0且f(x)≥0，所以
，又
，故只需证明当0＜a＜b≤1时
引入函数
，利用当t∈[0，x]时f(x)≤f(t)可知，当x∈(0，1]时有
故
在区间(0，1]上非增，即当0＜a＜b≤1时
方法2°把结论中的积分上限b改为变量x，并把积分变量x改为t，从而转化为证明：当0＜a＜x≤1时不等式
成立．注意
构造辅助函数
，不难得出
，且当x∈(a，1]时有
由此可见函数F(x)在区间[a，1]上单调非减，从而F(x)≥F(a)≥0．
方法3°利用定积分的换元法把
化为区间[0，a]上的定积分后再作比较．
令
，于是
，且x:a→b
t:0→a，
，代入即得
注意
，利用函数f(x)在区间[0，1]上单调非增可知
，再利用f(x)≥0，就有
方法4°由函数f(x)的连续性与积分中值定理可得，分别存在ξ∈(0，a)与η∈(a，b)，使得
利用函数f(x)在区间[0，1]上单调非增与ξ＜η可得f(ξ)≥f(η)，即
因为a＞0且f(x)≥0，所以
问答题
(1)对
x＞x
0
＞0，证明：
(2)设u(t)在[a，b]上连续，u(t)＞0，证明：
x＞x
0
＞0，证明：
(2)设u(t)在[a，b]上连续，u(t)＞0，证明：
【正确答案】
【答案解析】[证明] (1)由泰勒公式有
从而有
(2)即证
将x=u(t)与
代入上式，并将两端在[a，b]上取积分，注意到u(t)＞0，b＞a，
可知x 0 ＞0，则有
因此有
从而有
(2)即证
将x=u(t)与
代入上式，并将两端在[a，b]上取积分，注意到u(t)＞0，b＞a，
可知x 0 ＞0，则有
因此有