解答题
26.证明：用二重积分证明∫0+∞e－x2dx=
【正确答案】令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，
S={(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，
D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}
φ(x，y)=e－(x2+y2)，
因为φ(x，y)=e－(x2+y2)≥0且D1=
=D2，
所以
而
e－(x2+y2)dxdy=∫0Re－x2dx∫0Re－y2dy=(∫0Re－x2dx)2，
于是
，
令R→+∞，同时注意到∫0Re－x2dx＞0，根据夹逼定理得∫0+∞e－x2dx=
S={(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，
D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}
φ(x，y)=e－(x2+y2)，
因为φ(x，y)=e－(x2+y2)≥0且D1=
=D2，所以
而
e－(x2+y2)dxdy=∫0Re－x2dx∫0Re－y2dy=(∫0Re－x2dx)2，于是
，令R→+∞，同时注意到∫0Re－x2dx＞0，根据夹逼定理得∫0+∞e－x2dx=
【答案解析】