解答题
设连续型随机变量X有严格单调增加的分布函数F(x)，试求Y=F(X)的分布函数与密度函数．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由分布函数的定义得
FY(y)=P(Y≤y)=P[F(X)≤y]．
因F(x)为分布函数，故0≤F(x)≤1，所以
当y＜0时，FY(y)=0；当y≥1时，FY(y)=1，当0≤y＜1时，有
FY(y)=P[X≤F-1(y)](因F(x)单调增)
=F[F-1(y)]=y．
所以密度函数为
FY(y)=P(Y≤y)=P[F(X)≤y]．
因F(x)为分布函数，故0≤F(x)≤1，所以
当y＜0时，FY(y)=0；当y≥1时，FY(y)=1，当0≤y＜1时，有
FY(y)=P[X≤F-1(y)](因F(x)单调增)
=F[F-1(y)]=y．
所以密度函数为