解答题
25.已知向量组(I)：α1，α2，α3 ；(Ⅱ)：α1，α2，α3 ，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3 ，α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4，证明向量组α1，α2，α3，α5—α4的秩为4．
【正确答案】 可用初等列变换证明，还可利用两向量组等价必等秩的结论证之．
转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]，注意到α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关．由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则
B=[α1，α2，α3，α5一α4]=[α1，α2，α3，α5一λ1α1—λ2α2一λ3α3]
转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]，注意到α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关．由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则
B=[α1，α2，α3，α5一α4]=[α1，α2，α3，α5一λ1α1—λ2α2一λ3α3]
【答案解析】