单选题
设f(x)及g(x)在[a，b]上连续，则下列命题
①若在[a，b]上，f(x)≥0，则f(x)≠0，[*]
②若在[a，b]上，f(x)≥0，且[*]，则在[a，b]上f(x)=0
③若f(x)在[a，b]的任意子区间[α，β]上有[*]，则f(x)=0([*])
④若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且[*]，则在[a，b]上f(x)≡g(x)
中正确的是
(A) ①、②． (B) ①、②、③． (C) ①、②、④． (D) ①、②、③、④．
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] ①正确．根据条件必定存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＞0．由函数f(x)在x0连续可知，存在a≤α＜β≤b，使得当x∈[α，β]时[*]．因此有
[*]
由定积分性质得到
[*]
故得到结论[*]．
②正确．用反证法．如果f(x)≠0，由由①得到[*]，与假设条件矛盾，因此②成立．
③正确．用反证法．若f(x)≠0(x∈[a，b])，则[*]，f(x0)≠0，不妨设f(x0)＞0，由连续性[*]，[*]，f(x)＞0(x∈[x0-δ，x0+δ])．取[α，β]=[x0-δ，x0+δ]，则[*]，与已知矛盾．因此，f(x)≡0(x∈[a，b])．
④正确．臣为h(x)=g(x)-f(x)≥0，且[*]，由②可得h(x)≡0，从而结论成立．
综上分析，应选(D)．