解答题
设
问答题
计算A2，并将A2用A和E表出；
【正确答案】
【答案解析】
令A2=xA+yE，得
令A2=xA+yE，得
问答题
设A是二阶方阵，当k＞2时，证明Ak=0的充分必要条件是A2=0．
【正确答案】
【答案解析】充分性：A2=0，显然有Ak=0(k＞2)，充分性成立．
必要性：Ak=0，|Ak|=|A|k=0，|A|=0，即ad-bc=0．
由第一小题知A2=(a+d)A+0E，得Ak=(a+d)k-1A=0，
则a+d=0或A=0，从而有A2=(a+d)A=0．
注：必要性也可利用r(A)=1的特点来证，A是2×2矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
r(A)=0时，有A=0，A2=0．
r(A)=1时，A=αβT，A2=(βTα)αβT=βTαA．
Ak=(βTα)k-1A=0得βTα=0或A=0，从而有A2=0．
必要性：Ak=0，|Ak|=|A|k=0，|A|=0，即ad-bc=0．
由第一小题知A2=(a+d)A+0E，得Ak=(a+d)k-1A=0，
则a+d=0或A=0，从而有A2=(a+d)A=0．
注：必要性也可利用r(A)=1的特点来证，A是2×2矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
r(A)=0时，有A=0，A2=0．
r(A)=1时，A=αβT，A2=(βTα)αβT=βTαA．
Ak=(βTα)k-1A=0得βTα=0或A=0，从而有A2=0．