解答题
19.求函数f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在区域D：x2＋y2＋z2≤2上的最大值和最小值。
【正确答案】首先，求f(x，y，z)在D内部的极值。由fx'(x，y，z)＝1知f(x，y，z)在区域内无驻点，故f(x，y，z)的最大值，最小值都只能在边界上取得。接下来求f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在D的边界上的极值。
边界上的极值属于条件极值，在x2＋y2＋z2＝2的条件下，设拉格朗日函数为
F(x，y，z，λ)＝x＋y－z2＋5＋λ(x2＋y2＋z2－2)，
得方程组
由前两个式子可得x＝y，由第三个式子可得z＝0或者λ＝1。将x＝y，z＝0代入最后一个式子得x＝y＝±1，z＝0。当x＝y，λ＝1时，得x＝y＝
，z＝
，因此得驻点p1(﹣1，﹣1，0)，p2(1，1，0)，p3
，p4
边界上的极值属于条件极值，在x2＋y2＋z2＝2的条件下，设拉格朗日函数为
F(x，y，z，λ)＝x＋y－z2＋5＋λ(x2＋y2＋z2－2)，
得方程组
由前两个式子可得x＝y，由第三个式子可得z＝0或者λ＝1。将x＝y，z＝0代入最后一个式子得x＝y＝±1，z＝0。当x＝y，λ＝1时，得x＝y＝
，z＝，因此得驻点p1(﹣1，﹣1，0)，p2(1，1，0)，p3，p4【答案解析】