问答题
设α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
≠0，A=αα
T
，求可逆矩阵P使P
-1
AP=A．
【正确答案】正确答案：先求A的特征值． 方法一 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=αα
T
ξ=λξ． ① 若α
T
ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0； 若α
T
ξ≠0，①式两端左边乘α
T
，则 α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ)． 因α
T
ξ≠0，故
方法二 利用
及特征值定义． ①式两端左边乘A，得
方法三 利用
及特征方程|λE-A|=0． 因
两边取行列式
得A的特征值λ=0或
方法四 直接用A的特征方程
得A的特征值为
λ=0(n-1重根). 再求A的对应于λ的特征向量． 方法一 当λ=0时
即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0， 得特征向量为(设a
1
≠0)． ξ
1
=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[a
3
，0，一a
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[a
n
，0，0，…，一a
1
]
T
． 当
时
由观察知ξ
n
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
． 方法二 因为A=αα
T
，λ=0时，(λE-A)X=一αα
T
X=0，因为满足a
T
X=0的X必满足αα
T
X=0，故λ=0时，对应的特征方程是a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0．对应λ=0的n一1个特征向量为 ξ
1
=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[a
3
，0，一a
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[a
n
，0，…，一a
1
]
T
．
时，对矩阵λE一A=α
T
αE一αα
T
两端右边乘α，得 (λE-A)α=(α
T
αE-αα
T
)α=(α
T
α)α-α(α
T
α)=0， 故知α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
即是所求ξ
n
． 最后由ξ
1
ξ
2
，…，ξ
n
，得可逆矩阵P，即
且
方法二 利用
及特征值定义． ①式两端左边乘A，得
方法三 利用
及特征方程|λE-A|=0． 因
两边取行列式
得A的特征值λ=0或
方法四 直接用A的特征方程
得A的特征值为
λ=0(n-1重根). 再求A的对应于λ的特征向量． 方法一 当λ=0时
即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0， 得特征向量为(设a
1
≠0)． ξ
1
=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[a
3
，0，一a
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[a
n
，0，0，…，一a
1
]
T
． 当
时
由观察知ξ
n
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
． 方法二 因为A=αα
T
，λ=0时，(λE-A)X=一αα
T
X=0，因为满足a
T
X=0的X必满足αα
T
X=0，故λ=0时，对应的特征方程是a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0．对应λ=0的n一1个特征向量为 ξ
1
=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[a
3
，0，一a
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[a
n
，0，…，一a
1
]
T
．
时，对矩阵λE一A=α
T
αE一αα
T
两端右边乘α，得 (λE-A)α=(α
T
αE-αα
T
)α=(α
T
α)α-α(α
T
α)=0， 故知α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
即是所求ξ
n
． 最后由ξ
1
ξ
2
，…，ξ
n
，得可逆矩阵P，即
且
【答案解析】