问答题
设f(x)在[1，+∞)内可导，f"(x)＜0且
，令
．证明：{a
n
}收敛且
，令
．证明：{a
n
}收敛且
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为f"(x)＜0，所以f(x)单调减少．
又因为a n+1 -a n =f(n+1)-
f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{a n }单调减少．
因为
，而
且
，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．
由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故a n ≥f(n)＞0，所以
存在．
由
而
，所以a
n
≤f(1)，从而
又因为a n+1 -a n =f(n+1)-
f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{a n }单调减少．
因为
，而
且
，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．
由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故a n ≥f(n)＞0，所以
存在．
由
而
，所以a
n
≤f(1)，从而