问答题
已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：
问答题
存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ
【正确答案】证明 令g(x)=f(x)+x-1，则g(x)在[0，1]上连续，且
g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0
根据连续函数的零点定理，可知存在ξ∈(0，1)，使得
g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0，即f(ξ)=1-ξ
【答案解析】
问答题
存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)-1．
【正确答案】证明 由于函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)[*](0，1)，ζ∈(ξ，1)[*](0，1)，使得
[*]
【答案解析】
问答题
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使
【正确答案】证明 作辅助函数F(x)=xf(x)，则F(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理条件，从而至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
[*]
由于F'(x)=f(x)+xf'(x)，可见
[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f'(x)的零点．
【正确答案】证明 设F(x)=ekxf(x)，则F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
F(a)=ekaf(a)=0，F(b)=ekbef(b)=0
由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即
[kekxf(x)+ekxf'(x)]|x=ξ=0
[kf(x)+f'(x)]|x=ξ=0
也就是在(a，b)内，一定存在是kf(x)+f'(x)的零点．
F(a)=ekaf(a)=0，F(b)=ekbef(b)=0
由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即
[kekxf(x)+ekxf'(x)]|x=ξ=0
[kf(x)+f'(x)]|x=ξ=0
也就是在(a，b)内，一定存在是kf(x)+f'(x)的零点．
【答案解析】
问答题
设f(x)在闭区间[0，1]上有二阶连续导数，且f'(0)=f'(1)=0．试证明：至少存在一点c∈(0，1)，使cf"(c)+
【正确答案】证明 设[*]，由于F(0)=0，[*]，由题意，F(x)在闭区间[0，1]上连续且可导．由罗尔定理知至少存在一点c∈(0，1)，使得
[*]
即
[*]
【答案解析】
问答题
设函数φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使
【正确答案】证明 取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)，由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a，b)使F'(ξ)=0，即[*]．
【答案解析】[解析] 要证(b-ξ)φ'(ξ)-[φ(ξ)-φ(a)]=0，即要证
{(b-x)[φ(x)-φ(a)]'+(b-x)'[φ(x)-φ(a)]}|x=ξ
={(b-x)[φ(x)-φ(a)]}'|x=ξ=0
可取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，利用罗尔定理证明．
{(b-x)[φ(x)-φ(a)]'+(b-x)'[φ(x)-φ(a)]}|x=ξ
={(b-x)[φ(x)-φ(a)]}'|x=ξ=0
可取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，利用罗尔定理证明．
问答题
设
=k，求
=k，求
【正确答案】由拉格朗日中值定理知，f(x+a)-f(x)=f'(ξ)a，其中，ξ介于x，x+a之间，故当x→∞时，ξ→∞，因此
[*]
【答案解析】
问答题
试确定常数a，b，使f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当x→0时是关于x的5阶无穷小．
【正确答案】利用麦克劳林公式，有
[*]
要使[*]，必须使[*]，即[*]，此时
[*]
即[*]时，函数f(x)=x-(a+bcosx)sinx是x→0时关于x的5阶无穷小．
【答案解析】
问答题
用麦克劳林公式求极限
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)为连续函数，若对任意区间[a，b]都有
【正确答案】证明 设f(x0)≠0，x∈[a，b]，不妨设f(x0)＞0，由于f(x)为连续函数，可知必存在x0的小邻域(x0-δ，x0+δ)，使这个小邻域内总有f(x0)＞0，从而
[*]
这与已知矛盾，从而知f(x)≡0．
如果x0=a或x0=b，上述邻域可以取为[a，a+δ)或(b-δ，b)]．
[*]
这与已知矛盾，从而知f(x)≡0．
如果x0=a或x0=b，上述邻域可以取为[a，a+δ)或(b-δ，b)]．
【答案解析】[解析] 证明函数为零，针对具体函数，采取的方法有利用导数为零、最大值等于最小值、泰勒公式等方法判定函数为常数且恒等于零．本题中f(x)为抽象函数，[a，b]为任意区间，可以考虑利用反正法．
问答题
设f(x)为区间[a，b]上单调减少的连续函数．证明：
．
．
【正确答案】证明 方法一将欲证的定积分不等式化为[*]．
设[*]，则
[*]
其中，a＜ξ＜x，可知F(x)在[a，b]上单调减少．
由于F(a)=0，当a≤x≤b时，总有F(x)≤F(a)=0．特别地令x=b．刚可得
[*]
方法二 将欲证的不等式转化为
[*]
考察
[*]
由于[*]，f(x)为单调减少函数，可知f(ξ2)＜f(ξ1)，因此有
[*]
设[*]，则
[*]
其中，a＜ξ＜x，可知F(x)在[a，b]上单调减少．
由于F(a)=0，当a≤x≤b时，总有F(x)≤F(a)=0．特别地令x=b．刚可得
[*]
方法二 将欲证的不等式转化为
[*]
考察
[*]
由于[*]，f(x)为单调减少函数，可知f(ξ2)＜f(ξ1)，因此有
[*]
【答案解析】[解析] 证明定积分的不等式，常用方法有：①采用特殊转化为一般策略，把定积分转化为变上限(或变下限)的积分函数，利用微分学中证明函数不等式的方法证明；②利用定积分的性质证．
注意：本题利用了以下结论：若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．则必有
[*]