问答题
设曲线Γ的方程为φ(x，y)=0，其中φ(x，y)有一阶连续偏导数且在Γ上任意点处φ"
x
(x，y)与φ"
y
(x，y)不同时为零．设点P(x
*
，y
*
)为Γ外一点，
(Q在Γ上，坐标为(x
0
，y
0
))为点P到曲线Γ的最短距离．求证：
(Q在Γ上，坐标为(x
0
，y
0
))为点P到曲线Γ的最短距离．求证：
【正确答案】
【答案解析】[证明] Γ上任意点M(x，y)与P(x
*
，y
*
)的距离平方为
按题设，Q(x 0 ，y 0 )为f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的最小值点．用拉格朗日乘数法，引入函数
L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)
则Q(x 0 ，y 0 )应满足
由此要证
的斜率等于Γ在Q点的法线的斜率．
由①②式
由隐函数求导法知，Γ在Q(x 0 ，y 0 )处切线的斜率是
Γ在Q点的法线斜率是
而
的斜率是
因此④式表示，
按题设，Q(x 0 ，y 0 )为f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的最小值点．用拉格朗日乘数法，引入函数
L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)
则Q(x 0 ，y 0 )应满足
由此要证
的斜率等于Γ在Q点的法线的斜率．
由①②式
由隐函数求导法知，Γ在Q(x 0 ，y 0 )处切线的斜率是
Γ在Q点的法线斜率是
而
的斜率是
因此④式表示，