问答题
设n维向量组(Ⅰ)：
和r维向量组(Ⅱ)：β1=(1,1,…,1)．β2=(α1,α2,…,αr),…,
和r维向量组(Ⅱ)：β1=(1,1,…,1)．β2=(α1,α2,…,αr),…,
【正确答案】[解] 由于a1，a2…，ar互不相同，则范德蒙行列式
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则矩阵A的秩为r，从而A的列向量组即[*]线性无关，在向量组[*]的每一个向量上添加若干分量，可得向量组[*]，从而向量组(Ⅰ)线性无关．由于矩阵A的秩为r，则A舳彳亍向量组也线性无关，即向量组β1=(1,1,…,1)，β2=(a1,a2,…,ar)，…，[*]线性无关．故当r=n时，向量组(Ⅱ)线性无关．当r＜n时，向量的个数大于向量的维数，向量组(Ⅱ)线性相关．
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则矩阵A的秩为r，从而A的列向量组即[*]线性无关，在向量组[*]的每一个向量上添加若干分量，可得向量组[*]，从而向量组(Ⅰ)线性无关．由于矩阵A的秩为r，则A舳彳亍向量组也线性无关，即向量组β1=(1,1,…,1)，β2=(a1,a2,…,ar)，…，[*]线性无关．故当r=n时，向量组(Ⅱ)线性无关．当r＜n时，向量的个数大于向量的维数，向量组(Ⅱ)线性相关．
【答案解析】[评注] 做题时应注意基本定理的应用．例如，“一组向量线性无关，则添加若干分量，得到的高维向量组也线性无关”；“个数大于维数时，向量组线性相关”．